16.12.2020 День Теоремы Пифагора.
Неделя математики, информатики и физики
</picture>Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>,
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
- a = √c<sup>2 </sup>− b<sup>2</sup>
- b = √c<sup>2</sup> − a<sup>2</sup>
- c = √a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup>
Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:
- если c<sup>2 </sup>< a<sup>2 </sup>+ b<sup>2</sup> , значит угол, обращенный к стороне c, является острым.
- если c<sup>2 </sup>= a<sup>2 </sup>+ b<sup>2</sup> , значит угол, обращенный к стороне c, является прямым.
- если c<sup>2 </sup>> a<sup>2 </sup>+b<sup>2</sup> , значит угол, обращенный к стороне c, является тупым.
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Доказать: a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>.
Пошаговое доказательство:
- Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
- Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
∠ACB =∠CHA = 90º,
∠A — общий.
- Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
∠ACB =∠CHB = 90º,
∠B — общий.
- Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
- Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
- Значит a<sup>2 </sup>= c * HB, b<sup>2</sup> = c * AH.
- Сложим полученные равенства:
a<sup>2 </sup>+ b<sup>2 </sup>= c * HB + c * AH
a<sup>2 </sup>+ b<sup>2 </sup>= c * (HB + AH)
a<sup>2 </sup>+ b<sup>2 </sup>= c * AB
a<sup>2 </sup>+ b<sup>2 </sup>= c * c
a<sup>2</sup> + b<sup>2</sup> = c<sup>2</sup>
Теорема доказана.
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
- Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
- Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
- Проведём отрезок A₁B₁.
- Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
- В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁<sup>2</sup> = A₁C₁<sup>2</sup> + B₁C₁<sup>2</sup>.
- Таким образом получится:
- Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
- A₁B₁ = AB по доказанному результату.
- Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
- Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
- если a = 6, b = 10,
значит c<sup>2 </sup>= a<sup>2 </sup>+ b<sup>2</sup> = 6<sup>2 </sup>+ 10<sup>2</sup> = 36 + 100 = 136
- c = √136 = 11,7
Ответ: 11,7.
Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?
Как решаем:
- Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
11<sup>2 </sup>= 8<sup>2 </sup>+ 9<sup>2</sup>
121 ≠ 146
Ответ: треугольник не является прямоугольным.
